Rotation affine

Définition

Définition :
L'application $${{R_{A,\theta} }}:{{B\mapsto A+R_\theta(\overrightarrow{AB})}}$$ est appelée rotation (affine) de centre $A$ et d'angle $\theta\pmod{2\pi}$
(Rotation linéaire)

Rotations affines particulières

Rotation affine triviale

Proposition :
$R_{ A,{{0}} }={{\operatorname{Id}}}$ et on l'appelle la rotation (affine) triviale
Proposition :
Tout point est un centre de la rotation triviale

Symétrie centrale

Proposition :
$R_{A,{{\pi}} }$ est la symétrie centrale de centre $A$
(Symétrie centrale)

Propriétés

Lien avec les rotations linéaires

Proposition :
$${{R_{A,\theta}(A+\vec u)}}={{A+R_\theta(\vec u)}}$$
(Rotation linéaire)

Caractère affine

Proposition :
Les rotations affines sont des fonctions affines
(Fonction affine)

Point fixe

Proposition :
$${{R_{A,\theta}(B)}}=B\iff{{ A=B\quad\text{ ou }\quad\theta=0\pmod{2\pi} }}$$

Composition avec une homothétie

Proposition : $${{R_{A,\theta}\circ H_{A,\lambda} }}={{H_{A,\lambda}\circ R_{A,\theta} }}$$
(Homothétie)

Composition avec une translation

Proposition : $${{R_{A,\theta}(B+\vec u)}}={{R_{A,\theta}(B)+R_\theta(\vec u)}}$$
Proposition : $${{R_{A,\theta}\circ T_\vec u}}={{T_{R_{\theta}(\vec u)}\circ R_{A,\theta} }}$$
(Translation)

Composition de rotations affines de même centre

Proposition : $${{R_{A,\theta_1}\circ R_{A,\theta_2} }}={{R_{A,\theta_1+\theta_2} }}$$

Ecrire une translation avec des rotations

Proposition :
$R_{A_1,\theta}\circ R_{A_2,-\theta}$ est une translation
(Translation)

Math'φsics

Formulaire de report